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病院から他の病院の紹介状を書いてもらおうと考えています。
そこで、何点か質問があります。
まず、そもそも紹介状は、書いてくださいとお願いして書いてもらえるものですか？
書いてもらった場合、紹介先の病院へ行くまで今の病院に通うことは可能なのでしょうか？
また、紹介状があれば、確実に紹介先の病院は受け入れてくれますか？

紹介状は医師の判断で書かれるものです

まず大前提として、紹介状は医師の判断で書かれるものです。
あなたが「●●病院に転院したいので紹介状をください」と言ったからといって、安易に書いてもらうことはできません。
紹介状が書かれる先の病院に関しても、一部の業務で提携している場合です。
例えば、個人開業の医院に通っている人が、検査や治療のため大手の大学病院などに通わなければならない場合などで、かかりつけの病院が提携先の病院に対して、紹介状を書くわけです。
あなたの判断で紹介状を書いてもらいたい場合は、転院先の病院に対してあなたが病院を手配する必要があります。
転院希望の病院に対し連絡をし、転院可能かどうかを聞いた上で、現在の病院に紹介状を作成してもらいましょう。
そもそも、転院したい理由はなんでしょうか？
現在の病院に不満があるからですか？
仮に、通院が大変などの理由であれば、まずは現在の病院で相談してみてはいかがでしょうか？
どうしても紹介状が必要な理由が無ければ、普通にセカンドオピニオンのつもりで初心で受診してはいかがでしょうか。
紹介状とは、正式名称で「診療情報提供書」と言います。
大学病院などの大きな病院では、個人開業の病院に比べて多少費用が高くなります。
個人開業の医院に比べて、大学料金が高いのには、選定療養費という費用がプラスされたり、検査もたくさん行うため、どうしても実費が高くなります。
しかし、紹介状があると、この選定医療費がかからずに、検査を受けることができます。
紹介状とは、あくまで転院の形ではなく、元の病院でできないことを紹介先でやってもらう、いわば「レンタル移籍」のようなイメージです。
なので、紹介状を書いてもらって転院するというのは、原則としてありえない話なのです。